☆ Équations plus « complexes » - Vers le supérieur - Corrigé

Énoncé

Préciser l'ensemble de validité de chacune des équations suivante, puis la résoudre.

1. $-{\displaystyle \frac{z}{iz+1}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}=2+i$  

2.  ${\displaystyle \frac{z-1}{iz+2}}=3i$

3. ${\displaystyle \frac{z}{z-2i}}=-1+i$

4.  ${\displaystyle \frac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}}=1+i$

Solution

1. L'équation est définie si  $iz+1\ne 0$  et si  $z-i\ne 0$ .
$iz+1=0⟺z=-\frac{1}{i}⟺z=i$  et  $z-i\ne 0$ $⟺z=i$
Ainsi, l'ensemble de validité de cette équation est  $\mathbb{C}\setminus \{i\}$ .

Pour tout  $z\in \mathbb{C}\setminus \{i\}$ , 
$-{\displaystyle \frac{z}{iz+1}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}=-(-i){\displaystyle \frac{z}{(-i)(iz+1)}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}={\displaystyle \frac{iz}{z-i}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}={\displaystyle \frac{z(3+i)}{z-i}}$
Donc  $S=\{1-2i\}$ .

2. L'équation est définie si  $iz+2\ne 0$ .
$iz+2=0⟺z=-\frac{2}{i}⟺z=2i$
Ainsi, l'ensemble de validité de cette équation est  $\mathbb{C}\setminus \{2i\}$ .

Pour tout  $z\in \mathbb{C}\setminus \{2i\}$ ,
${\displaystyle \frac{z-1}{iz+2}}=3i⟺z-1=3i(iz+2)⟺z-1=-3z+6i⟺z={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}i$ .
Ainsi,  $S=\{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}i\}$ .

3. L'ensemble de validité de cette équation est  $\mathbb{C}\setminus \{2i\}.$

$S=\{{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}i\}$ .

4.  $\bar{z}-i=0⟺\bar{z}=i⟺z=-i$
Ainsi, l'ensemble de validité de cette équation est  $\mathbb{C}\setminus \{-i\}$ .

Pour tout  $z\in \mathbb{C}\setminus \{-i\}$ ,
  $$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}}=1+i⟺\bar{z}+i=(1+i)(\bar{z}-i) \\ ⟺-i\bar{z}=-2i+1⟺\bar{z}=2+i⟺z=2-i \end{gathered}$$
Ainsi  $S=\{2-i\}$ .